Trước đây ,nhiều người từng nghĩ  luôn là số nguyên tố cho mọi n nguyên tố nhưng vào năm 1563 Hudalricus Regius đã chỉ ra rằng  không phải là số nguyên tố. Vào năm 1603 Pietro Cataldi đã kiểm chứng 1 cách chính xác rằng khi n=17,19 thì  là số nguyên tố và dự đoán điều đó cũng đúng khi n=23,29,31,37. Tuy nhiên vào năm 1640 Fermat đã chỉ ra suy đoán của Cataldi sai với trường hợp 23 và 37 rồi đến năm 1738 Euler cũng chỉ ra trường hợp n=29 là sai.

Vào năm 1644 một nhà toán học kiêm giáo sĩ người Pháp là Marin Mersenne (1588-1648) trong lời tựa của cuốn Cogitata Physica-Mathematica (1644) (Tạm dịch là những khái niệm Toán học và Vật lí) đã sắp xép ra 11 trị số của n để  là số nguyên tố ,đó là các trị số:2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 và 257 không khó khăn gì có thể tra ra 11 trị số trên đều là số nguyên tố.Không lâu sau có người còn chứng minh được nếu  là số nguyên tố thì n nhất định là số nguyên tố, nhưng cần chú ý là điều ngược lại không đúng: nghĩa là khi n là số nguyên tố thì  không nhất định là số nguyên tố. Thí dụ như các trường hợp đã nói ở trên.

Từ đó để tưởng niệm công lao của ông giáo sĩ, người ta gọi tất cả các số nguyên tố có dạng  là số nguyên tố Merssenne.

Người ta phát hiện số nguyên tố Mersenne có nhiều điểm liên quan đến số hoàn thiện. 

Vậy thế nào gọi là số hoàn thiện? Nếu có một số tự nhiên bằng đúng tổng các ước số của nó ngoài bản thân nó thì số tự nhiên đó gọi là số hoàn thiện. 6 là số hoàn thiện nhỏ nhất; con số 6 trừ bản thân nó ra còn có 3 ước số là 1, 2, 3 và: 6=1+2+3. Ngoài số hoàn thiện ra còn có số không đầy đủ và số giàu có.
Nếu 1 số tự nhiên lớn hơn tổng các ước của nó trừ ước là bản thân nó thì nó là 1 số không đầy đủ .Ví dụ 8 ngoài bản thân nó có các ước là 1, 2, 4 và 8>1+2+4=7. Do đó 8 là 1 số không đầy đủ .

Nếu 1 số tự nhiên nhỏ hơn tổng các ước của nó trừ ước là bản thân nó thì nó là 1 số giàu có .Ví dụ 12 ngoài bản thân nó có các ước là 1, 2, 3, 4, 6 và 12<1+2+3+4+6=16. Do đó 12 là một số giàu có. 

Học phái Pitago phát hiện ra 3 loại số trên nghe nói có liên quan đến tín ngưỡng của họ. Họ cho rằng thượng đế dùng 6 ngày để sáng tạo ra thế giới, con số 6 là con số hoàn thiện nhất. Do đó họ coi các số có tính chất như số 6 là số hoàn thiện.
Lại theo truyền thuyết toàn thể loài người do 8 vị thần linh tạo ra nhưng sáng tạo không được đầy đủ nên con số 8 gọi là "số không đầy đủ".

3 loại số : Số hoàn thiện, Số không đầy đủ và Số giàu có , trong đó quan trọng nhất là số hoàn thiện. Số hoàn thiện có rất ít trong tự nhiên. Trong phạm vi 1 vạn số chỉ có 4 số hoàn thiện là 6, 28, 496, 8128 .Cho đến năm 1952 trải qua 2000 năm tìm kiếm người ta mới tìm được 12 con số hoàn thiện, thật là ít một cách đáng buồn ! Có điều kì quặc là 12 con số hoàn thiện này đều là số chẵn.

Vậy có tồn tại số hoàn thiện lẻ hay không? Đây là 1 vấn đề toán học rất nổi tiếng chưa được giải quyết .

Nhưng năm 1968 có một nhà toán học tuyên bố : Nếu tồn tại số hoàn thiện lẻ thì nó không thể ít hơn 36 vị số. Xem ra dùng tay để tính thì không tìm được số đó.

Trước 300 năm, nhà toán học cổ Hy Lạp Ơcơlit trong tác phẩm nổi tiếng của ông :"Kỷ hà nguyên bản" đã chứng minh nếu  là 1 số nguyên tố thì  nhất định là 1 số hoàn thiện.

Rất hiển nhiên công thức này cho ra 1 số hoàn thiện chẵn. Sau này nhà toán học Euler đã chứng minh thêm một bước nữa: Mỗi số hoàn thiện chẵn tất yếu là hình thức có được từ Ơcơlit. Do vậy công thức Ơcơlit là đầu mối để tìm số hoàn thiện .

Số hoàn thiện có một lịch sử rất lâu đời ,có định nghĩa rất độc đáo và nó còn có những đặc tính kì diệu sau :

1/ Mỗi số hoàn thiện có thể biểu diễn dưới dạng tổng các số tự nhiên liên tiếp, thí dụ:

6 = 1+2+3
28 = 1+2+3+4+5+6+7
496 = 1+2+3+...+30+31
8128 = 1+2+3+...+126+127 

2/ Trừ số 6 ra số hoàn thiện có thể biểu diễn dưới dạng tổng các số lẻ lập phương liên tiếp cộng với nhau, thí dụ :

3/ Tổng đảo của tất cả các ước số cuả số hoàn thiện đều bằng 2, thí dụ:

1/1+1/2+1/3+1/6=2
1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2
1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2

Các phân số ở vế trái đều những đơn phan số hay là các phân số cổ Ai Cập tức các phân số có tử bằng 1. Như vậy phân số cổ Ai Cập và số hoàn thiện Hy Lạp có mối quan hệ với nhau.

4/ Ta thử biểu diễn các số hoàn thiện dưới hệ nhị phân xem thử sao:

6=110
28=11100
496=111110000
8128=1111111000000

Quay trở lại vấn đề tìm kiếm số nguyên tố Merssenne

Tuy rằng ông giáo sĩ đưa ra 11 trị số n để  là số nguyên tố nhưng ông không không nghiệm toán tất cả 11 trị số của n ,nguyên nhân chủ yếu là con số lớn khó phân giải khi n=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19 thì  tương ứng là : 

3, 7, 31, 127, 8191, 13107, 524287.

Bởi vì những con số này đều tương đối nhỏ nên ta đã nghiệm toán ra chúng đều là số nguyên tố. Năm 1772 nhà toán học Euler ở tuổi 65, đôi mắt đã hoàn toàn mất thị lực với thiên tài tính nhẩm siêu việt đã chứng minh được khi n có trị số là 31 thì số là một số nguyên tố.

Còn các trị số n=67, 127, 257 thì 3 số tương ứng có phải là số nguyên tố không thì sau một thời gian dài không ai chứng minh tiếp.

Sau khi vị toán học gia kiêm giáo sĩ người Pháp qua đời được 250 năm. Vào năm 1903 trong một cuộc hội thảo toán học tại New York có một nhà toán học đã làm một bản báo cáo rất xuất sắc và độc đáo: ông bước lên diễn đàn và chẳng nói một lời, lẳng lặng cầm viên phấn viết thật nhanh lên bảng đen các con số sau đây: .... sau đó ông đi về chỗ ngồi của mình. Lúc đầu cả hội trường im phăng phắc, một lúc sau tiếng vỗ tay vang dội một hồi lâu không dứt.

Mọi người thi nhau bắt tay chúc mừng ông đã chứng minh số 2p - 1 thứ 9 không phải là số nguyên tố mà là hợp số . Năm 1914 số thứ 10 được chứng minh là số nguyên tố.

Năm 1952 người ta dùng máy tính điện tử chứng minh được số thứ 11 không phải là số nguyên tố.

Tốc độ của máy tính điện tử càng lúc càng cao. Ngày 4 tháng 9 năm 1996 máy tính cỡ lớn của Mỹ giúp các nhà khoa học Mỹ tìm ra số nguyên tố  thứ 33 là 21257787-1 (gồm 378632 chữ số thập phân).

Ngày 28 tháng 5 năm 2004, John Findley đã tìm ra số nguyên tố Merssenne thứ 41 lớn nhất từ trước đến giờ. Nó gồm 7235733 chữ số thập phân (một người bình thường phải mất 6 tuần mới viết hết được). Đó là con số 224036583-1 đồng thời phát hiện số hoàn thiện lớn nhất (224036583-1)*224036582 .

Lịch sử tìm ra số nguyên tố Mersenne và số hoàn thiện các bạn có thể xem ở bảng thống kê trong bài viết : Số nguyên tố Mersenne thứ 42 được phát hiện


Cuối cùng là lời nói riêng của tôi, với tư cách là tác giả bài viết. Chắc các bạn thắc mắc cứ tìm nhiều số nguyên tố như vậy để làm gì? Các số nguyên tố có các ứng dụng rất thực tế như trong ngành giải mã và nhiều ngành khác. Hơn hết, việc ngày càng tìm ra các số nguyên tố lớn hơn thể hiện khả năng vô tận của máy tính dưới bàn tay con người. Mỗi con số tìm ra là một kiệt tác trong vô vàn kiệt tác khác của toán học nói riêng và khoa học nói chung. Đó phải chăng là cái đẹp thuần tuý của khoa học ?


Chúc một ngày nào đó ,một bạn đọc của chúng ta cũng sẽ tìm ra một con số nguyên tô Merssene để được ghi danh vào sử sách! Xin cảm ơn mọi người đã theo dõi và động viên tôi hoàn thành loạt bài viết này